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الأحد, فبراير 15, 2015

Maths Spé : grands classiques de concours



Algèbre

Voici déjà un résumé du cours d'algèbre de Maths Spé MP en 6 pages.
  1. Algèbre linéaire
  1. La formule des trois niveaux
    Un petit topo sur la formule des trois niveaux avec un peu de dualité car l'intégrale est une forme linéaire et un peu de polynômes de Lagrange...
  2. Matrices compagnons.
    Voici un problème classique et très complet sur les matrices compagnons : TPE 1996 M Option. Enoncé / Corrigé.
    Voici également CCP 2001 MP Mathématiques 2. Enoncé / Corrigé.

  1. Polynômes

Familles de polynômes célébres

  1. Polynômes d'interpolation de Lagrange.
    Voici un résumé des résultats classiques sur les polynômes de Lagrange.
    Sinon, il y a le très complet Saint-Cyr 1993 Mathématiques 1. Enoncé / Corrigé.


  1. Polynômes de Bernstein et théorème de Weierstrass.
    Voici un topo sur les polynômes de Bernstein.
  2. Polynômes de Tchebychev.
    Voici un topo sur les polynômes de Tchebychev.
    Voici également CCP 2003 MP Maths 1. Enoncé / Corrigé

Les polynômes en général

  1. Le théorème de Lucas
    Voici un topo sur le théorème de Lucas : les racines de P' sont dans l'enveloppe convexe des racines de P. On y redonne au passage la décomposition en éléments simples de P'/P.
  2. Nombres algébriques. Constructibilité à la règle et au compas
    Voici l'énoncé et le corrigé de la deuxième épreuve de mathématiques au concours Mines-Ponts 1996, série M. Elle est consacrée aux problèmes de construction à la règle et au compas. On fait d'abord de l'algèbre en étudiant les extensions quadratiques d'un corps, puis on applique à la géométrie.


Analyse

Voici déjà un résumé du cours d'analyse de Maths Spé MP en 9 pages.
  1. Séries numériques
  1. La série harmonique.
    Voici un topo sur la série harmonique et la constante d'Euler. On y utilise beaucoup les théorèmes de sommation des relations de comparaison.
  2. La formule de Stirling.
    Voici un topo sur la formule de Stirling. On y utilise beaucoup aussi les théorèmes de sommation des relations de comparaison et le théorème comparant les convergences de la suite de terme général un et la série de terme général un+1-un.
  3. Calcul de ζ(2).
    Voici trois calculs de ζ(2). On redémontre le lemme de Lebesgue dans l'un des trois.

  1. Séries de fonctions

Séries de fonctions

  1. La fonction zeta de Riemann.
    Voici un topo sur les propriétés usuelles de la fonction zeta de Riemann.
    Le problème qui suit est consacré aux polynômes de Bernoulli : ENAC Ingénieurs 1995. Enoncé / Corrigé.
    On y calcule entre autres les valeurs de la fonction zeta en 2, 4, ..., 2p, ...

Séries entières

  1. Voici un problème de concours sans prétention qui travaille le B.A.BA sur les séries entières. En particulier, on y effectue quelques études typiques aux bornes de l'intervalle de convergence.
    ESIM 1992 Sections M et P' Maths1 Problème 1 Enoncé / Corrigé.

Séries trigonométriques - Séries de Fourier

  1. Le problème suivant fournit un calcul de série trigonométrique et plus généralement desérie trigonométrique. Saint-Cyr 1992 Section M Maths1. Enoncé / Corrigé.

  1. Intégration
  1. Intégrales de Wallis.
    Voici un topo sur les intégrales Wallis
  2. Intégrales de Gauss.
    Voici un topo sur l'intégrale de Gauss. On calcule cette intégrale par trois méthodes différentes :
    1) utilisation d'intégrales doubles,
    2) utilisation d'une intégrale à paramètre et du théorème de dérivation sous le signe somme,
    3) utilisation d'une suite d'intégrales et du théorème de convergence dominée.
  3. La fonction Γ.
    Voici un topo sur la fonction Γ.
  4. Existence et calcul de Intégrale de 0 à 1 de ln(t)/(t-1). Voir le calcul de l'intégrale.
  5. Calculs d'intégrales généralisées. Voici un problème sur les intégrales : ENSAI MP Mathématiques 2. Enoncé / Corrigé.
    On y étudie de nombreuses intégrabilités, on y utilise le théorème de dérivation sous le signe somme (théorème de Leibniz) et le théorème de convergence dominée pour les suites d'intégrales.
  6. Démonstrations de l'égalité Intégrale de 0 à pi de tsin(t)(1-cos(t)).
    On trouve plusieurs calculs cette intégrale dans le problème de l'ESIM 2002 MP Maths2 Enoncé/Corrigé.
    Presque tout le programme d'analyse y passe : séries de Fourier et théorème de Dirichlet, convergence d'une série numérique, convergence normale d'une série de fonctions, séries entières, continuité et dérivabilité d'une intégrale à paramètres, équations différentielles linéaires du premier ordre ...

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